精英家教網(wǎng)如圖,拋物線y=-x2+1與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,將線段OA的n等分點(diǎn)從左至右依次記為P1,P2,…,Pn-1,過(guò)這些分點(diǎn)分別作x軸的垂線,與拋物線的交點(diǎn)依次為Q1,Q2,…,Qn-1,從而得到n-1個(gè)直角三角形△Q1OP1,△Q2P1P2,…,△Qn-1Pn-2Pn-1.當(dāng)n→∞時(shí),這些三角形的面積之和的極限為
 
分析:由題意知
lim
n→∞
(S1+S2+…+Sn-1)
=
lim
n→∞
1
2n
[(n-1)-
1222+…+(n-1)2
n2
]
,由此能夠推導(dǎo)出這些三角形的面積之和的極限.
解答:解:p1(
1
n
,0)
p2(
2
n
,0)
,…,pn-1(
n-1
n
,0)
;Q1(
1
n
,1-(
1
n
)
2
)
,Q2(
2
n
,1-(
2
n
)
2
)
,…,Qn-1(
n-1
n
,1-(
n-1
n
)
2
)
,記△QnPn-1Pn的面積為Sn,則S1=
1
2
-
1
n
-[1-(
1
n
)
2
]
,S2=
1
2
-
1
n
-[1-(
1
n
)
2
]
,…,Sn-1=
1
2
-
1
n
-[1-(
n-1
n
)
2
]
;
lim
n→∞
(S1+S2+…+Sn-1)
=
lim
n→∞
1
2n
[(n-1)-
1222+…+(n-1)2
n2
]
=
1
2
-
lim
n→∞
(n-1)(n-2)(2n-3)
12n3
=
1
2
-
1
6
=
1
3

答案:
1
3
點(diǎn)評(píng):本題考查極限的求法,解題時(shí)要注意觀察分析能力和歸納總結(jié)能力的培養(yǎng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖,拋物線y=x2上有一點(diǎn)A(a,a2),a∈(0,1),過(guò)點(diǎn)A引拋物線的切線l分別交x軸與直線x=1于B,C兩點(diǎn),直線x=1交x軸于點(diǎn)D.
(1)求切線l的方程;
(2)求圖中陰影部分的面積S(a),并求a為何值時(shí),S(a)有最小值?

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已知如圖,拋物線y=ax2+bx+2與x軸的交點(diǎn)是A(3,0)、B(6,0),與y軸的交點(diǎn)是C.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)P(x,y)(0<x<6)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線BC于點(diǎn)Q.
①當(dāng)x取何值時(shí),線段PQ的長(zhǎng)度取得最大值,其最大值是多少?
②是否存在這樣的點(diǎn)P,使∠OQA為直角?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•西城區(qū)一模)如圖,拋物線y=-x2+9與x軸交于兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)C,D在拋物線上(點(diǎn)C在第一象限),CD∥AB.記|CD|=2x,梯形ABCD面積為S.
(Ⅰ)求面積S以x為自變量的函數(shù)式;
(Ⅱ)若
|CD||AB|
≤k
,其中k為常數(shù),且0<k<1,求S的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,拋物線y=ax2-5ax+4經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn),已知BC∥x軸,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,且AC=BC.
(1)寫(xiě)出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)并求拋物線的解析式;
(2)探究:若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上且在x軸下方的動(dòng)點(diǎn),是否存在△PAB是等腰三角形.若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo);不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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