Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-ax+c，（其中c＞0）．
（1）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求a的值；
（2）當(dāng)f（x）為偶函數(shù)時(shí)，若函數(shù)，指出g（x）在（0，+∞）上單調(diào)性情況，并證明之．

Answer 1

解：（1）f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），…
即（-x）²+ax+c=x²-ax+c，
即2ax=0恒成立                         …
∴a=0                                                                           …
（2）由（1），若f（x）為偶函數(shù)，則a=0，
∴==x+，x∈（0，+∞）
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）在x∈（0，）上單調(diào)遞減，在x∈（，+∞）上單調(diào)遞增，證明如下：…
設(shè)任意x₁，x₂∈（0，），且x₁＜x₂，
g（x₁）-g（x₂）=（x₁+）-（x₂+）=（x₁-x₂）+（-）=（x₁-x₂）         …
∵x₁，x₂∈（0，），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁˙x₂＜c
即x₁˙x₂-c＜0
∴（x₁-x₂）＞0，
即g（x₁）-g（x₂）＞0
即g（x₁）＞g（x₂）
∴g（x）在（0，）上單調(diào)遞減                                                       …
同理，可得g（x）在（，+∞）上單調(diào)遞增                                             …
分析：（1）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)定義可得f（-x）=f（x），結(jié)合多項(xiàng)式相等的條件，求出a的值；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，可得g（x）為對勾函數(shù)，利用作差法，可證明其單調(diào)性．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，求出a值是解答的關(guān)鍵．