Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 的側(cè)面 A₁ACC₁與底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2

3

，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）求側(cè)棱A₁A與底面ABC所成角的大��；
（2）求側(cè)面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得直線AA₁在底面ABC內(nèi)的射影為直線AC，∠A₁AC為側(cè)棱AA₁與底面ABC所成的角，由此能求出側(cè)棱A₁A與底面ABC所成角的大�。�
（2）取AC，AB的中點(diǎn)分別為M，N，連結(jié)A₁M，MN，NA₁，由已知得∠A₁NM即為所求二面角的平面角，由此能求出側(cè)面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的大小．

解答： 解：（1）因?yàn)閭?cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，AA₁?側(cè)面A₁ACC₁，
側(cè)面A₁ACC_1∩底面ABC=AC
所以直線AA₁在底面ABC內(nèi)的射影為直線AC
故∠A₁AC為側(cè)棱AA₁與底面ABC所成的角
又AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，
所以∠A₁AC=45°為所求．
（2）取AC，AB的中點(diǎn)分別為M，N，連結(jié)A₁M，MN，NA₁
由（1）知A₁M⊥AC，
故A₁M⊥底面ABC，A₁M⊥AB
又MN∥BC，∠ABC=90°
所以MN⊥AB，又MN∩A₁M=M，所以AB⊥平面A₁MN
則∠A₁NM即為所求二面角的平面角
在RtA₁MN中，A₁M=

3

2

，AC=3，MN=

1

2

BC=1，∠A₁MN=90°，
所以tan∠A₁MN=

A1M

MN

=3，∠A₁MN=arctan3．
即所求二面角的大小為arctan3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．