在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱D1C1、B1C1的中點(diǎn)，求平面EFC與底面ABCD所成銳二面角的正切值．
考點(diǎn)：二面角的平面角及求法
專題：空間角
分析：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面EFC與底面ABCD所成銳二面角的正切值．
解答： 解：如圖，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為4，則C（0，4，0），E（0，2，4），F(xiàn)（2，4，4），
則
CE
=(0，-2，4)，
CF
=(2，0，4)，
設(shè)平面CEF的法向量是
n
=（x，y，z），
則
n
•
CE
=-2y+4z=0
n
•
CF
=2x+4z=0
，
取z=1，得
n
=（2，-2，-1），
顯然，平面ABCD的法向量為
DD1
=（0，0，4），
設(shè)這兩個(gè)法向量的成角為θ，
cosθ=|cos＜
n
，
DD1
＞|=|
-4
3×4
|=
1
3
，
∴sinθ=
1-
1
9
=
2
2
3
，tanθ=
sinθ
cosθ
=2
2
，
∴所求兩平面所組成的銳二面角的正切值為2
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

角α的終邊上的點(diǎn)P到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離之比是
1
2
，求3sinα-cosα的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，等腰直角△ABC中，已知AB=BC=2，M為AC中點(diǎn)，沿BM將它折成二面角，折后A，C間的距離為
2
，則二面角C-BM-A的大小為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知z=（1-2i）2，求
.
z
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖是正四面體的平面展開圖，M、N、G分別為DE、BE、FE的中點(diǎn)，則在這個(gè)正四面體中，MN與CG所成角的大小為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1 的側(cè)面 A1ACC1與底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2
3
，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．
（1）求側(cè)棱A1A與底面ABC所成角的大��；
（2）求側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2
3
的正方形，平面ACC1⊥ABCD，BC1=CC1，直線DB與平面BCC1B1成30°角，
（1）求證：平面BC1D⊥平面ABCD；
（2）求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的三邊依次為a、b、c，cos（C-
π
3
）=
b+c
2a

（Ⅰ）求A
（Ⅱ）若a=2．S△ABC=
3
，求b+c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax-ex（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（I）當(dāng)a=
1
e
時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；
（Ⅱ）當(dāng)2≤a≤e+2時(shí)，求證f（x）≤2x．

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