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【題目】已知函數.

1)若曲線處的切線的斜率為2,求函數的單調區(qū)間;

2)若函數在區(qū)間上有零點,求實數的取值范圍.是自然對數的底數,

【答案】(1)函數的單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為(2)

【解析】

1)求導,由導數的結合意義可求得,進而得到函數解析式,再解關于導函數的不等式即可得到單調區(qū)間;
2)對進行分類討論,利用導數,結合零點的存在性定理建立不等式即可求解.

1)函數的定義域為,

,

,所以,

此時,定義域為,

,解得;令,解得;

所以函數的單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為.

2)函數在區(qū)間上的圖象是一條不間斷的曲線.

由(1)知,

1)當時,對任意,,,則,所以函數在區(qū)間上單調遞增,此時對任意,都有成立,從而函數在區(qū)間上無零點;

2)當時,令,得,其中,

①若,即,則對任意,,所以函數在區(qū)間上單調遞減,由題意得,且,解得,其中,即

所以的取值范圍是

②若,即,則對任意,,所以函數在區(qū)間上單調遞增,此時對任意,都有成立,從而函數在區(qū)間上無零點;

③若,即,則對任意,;所以函數在區(qū)間上單調遞增,對任意,都有成立;

對任意,,函數在區(qū)間上單調遞減,由題意得

,解得,

其中,即,

所以的取值范圍是.

綜上可得,實數的取值范圍是.

練習冊系列答案
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②求證:存在唯一的正整數,使得

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