Question

已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|2x-a|，a∈R．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，解不等式f（x）＞0；
（2）當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）依題意知，a=3時(shí)，f（x）=

1-x，x＞2 5-3x， 3 2 ≤x≤2 x-1，x＜ 3 2

，通過(guò)對(duì)x范圍的分類討論，解不等式f（x）＞0即可；
（2）利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，通過(guò)分離參數(shù)a，可知當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，a＜3x-2或a＞x+2恒成立，從而可求得a的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=

1-x，x＞2 5-3x， 3 2 ≤x≤2 x-1，x＜ 3 2

，…（2分）
當(dāng)x＞2時(shí)，1-x＞0，即x＜1，解得x∈∅；
當(dāng)

3

2

≤x≤2時(shí)，5-3x＞0，即x＜

5

3

，解得

3

2

≤x＜

5

3

；
當(dāng)x＜

3

2

時(shí)，x-1＞0，即x＞1，解得1＜x＜

3

2

；
綜上所述，不等式的解集為{x|1＜x＜

5

3

}．…（5分）
（2）當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f（x）＜0恒成立?2-x-|2x-a|＜0
?2-x＜|2x-a|恒成立
?2-x＜2x-a或2x-a＜x-2恒成立
?x＞

a+2

3

或x＜a-2恒成立，
∴當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，a＜3x-2①或a＞x+2②恒成立，
解①，a不存在；解②得：a≥4．
綜上知，a≥4．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查分類討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．