Question

16．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a²≠b²），直線l與橢圓交于A、B兩點，以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點，證明O到AB的距離是定值．（用參數(shù)方程解）

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當(dāng)OA，OB斜率都存在時，設(shè)直線OA的方程為y=kx，代入橢圓方程，可得${x}_{1}^{2}=\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，${y}_{1}^{2}$=$\frac{{k}^{2}{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．以$-\frac{1}{k}$代替k，可得${x}_{2}^{2}$=$\frac{{k}^{2}{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}{k}^{2}}$，${y}_{2}^{2}$=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}{k}^{2}}$．可得O到AB的距離的平方d²=$\frac{|OA{|}^{2}|O{B}^{2}|}{|AB{|}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，當(dāng)OA，OB斜率有一個不存在時，上式也成立．即可證明．

解答 證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當(dāng)OA，OB斜率都存在時，設(shè)直線OA的方程為y=kx，代入橢圓方程，可得${x}_{1}^{2}=\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，${y}_{1}^{2}$=$\frac{{k}^{2}{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．
以$-\frac{1}{k}$代替k，可得${x}_{2}^{2}$=$\frac{{k}^{2}{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}{k}^{2}}$，${y}_{2}^{2}$=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}{k}^{2}}$．
∴O到AB的距離的平方d²=$\frac{|OA{|}^{2}|O{B}^{2}|}{|AB{|}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}）（{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}）}{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}}$=$\frac{\frac{{a}^{2}^{2}（1+{k}^{2}）}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}×\frac{{a}^{2}^{2}（1+{k}^{2}）}{{a}^{2}+^{2}{k}^{2}}}{\frac{{a}^{2}^{2}（1+{k}^{2}）}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}+\frac{{a}^{2}^{2}（1+{k}^{2}）}{{a}^{2}+^{2}{k}^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∴O到AB的距離d=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$是定值．
當(dāng)OA，OB斜率有一個不存在時，上式也成立．
綜上可得：O到AB的距離d=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$是定值．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、直角三角形的面積變形，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．