已知橢圓的中心為原點O，一個焦點為F數(shù)學(xué)公式，離心率為數(shù)學(xué)公式．以原點為圓心的圓O與直線數(shù)學(xué)公式互相切，過原點的直線l與橢圓交于A，B兩點，與圓O交于C，D兩點．
（1）求橢圓和圓O的方程；
（2）線段CD恰好被橢圓三等分，求直線l的方程．

解：（1）∵橢圓的焦點為F，離心率為，∴
∴a=2，b==1
∴橢圓的方程為
∵以原點為圓心的圓O與直線相切
∴圓O的半徑為
∴圓O的方程為x2+y2=16；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx，代入橢圓方程可得
∴x=±，∴y=±k
∴A（，k），B（-，-k），
∴|AB|=
∵線段CD恰好被橢圓三等分，
∴
∴，
∴
∴直線l的方程為．
分析：（1）根據(jù)橢圓的焦點為F，離心率為，可得橢圓的幾何量，從而可得橢圓的方程，利用以原點為圓心的圓O與直線相切，可得圓的半徑，從而可圓的而發(fā)愁；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx，代入橢圓方程，求得A，B的坐標(biāo)，求出|AB|，利用線段CD恰好被橢圓三等分，建立方程，可得k的值，從而可求直線l的方程．
點評：本題考查橢圓、圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•道里區(qū)二模）已知橢圓的中心為原點，離心率e=
3
2
，且它的一個焦點與拋物線x2=-4
3
y的焦點重合，則此橢圓方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為原點O，一個焦點為F(
3
，0)，離心率為
3
2
．以原點為圓心的圓O與直線y=x+4
2
互相切，過原點的直線l與橢圓交于A，B兩點，與圓O交于C，D兩點．
（1）求橢圓和圓O的方程；
（2）線段CD恰好被橢圓三等分，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為原點，離心率e=
3
2
，且它的一個焦點與拋物線x2=-4
3
y的焦點重合，則此橢圓方程為
x2+
y2
4
=1
x2+
y2
4
=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（重慶卷解析版） 題型：解答題

已知橢圓的中心為原點，長軸在 軸上，上頂點為 ，左、右焦點分別為 ，線段  的中點分別為 ，且△是面積為4的直角三角形。（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過 作直線交橢圓于，，求直線的方程

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（重慶卷解析版） 題型：解答題

已知橢圓的中心為原點，長軸在 軸上，上頂點為 ，左、右焦點分別為 ，線段  的中點分別為 ，且△是面積為4的直角三角形。（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過 作直線交橢圓于，，求△的面積

 

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