Question

17．已知點M、N是由$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥1}\\{x-y+1≥0}\\{x+y≤6}\end{array}\right.$所圍成的平面區(qū)域內(nèi)的兩個點，則|MN|的最大值是$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的四邊形ABCD．因為四邊形ABCD的對角線BD是區(qū)域中最長的線段，所以當(dāng)M、N分別與對角線BD的兩個端點重合時，|MN|取得最大值，由此結(jié)合兩點間的距離公式可得本題答案．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ y≥1\\ x-y+1≥0\\ x+y≤6\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域，
得到如圖的四邊形ABCD，其中A（1，1），B（5，1），C（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{2}$），D（1，2），
∵M(jìn)、N是區(qū)域內(nèi)的兩個不同的點，
∴運動點M、N，可得當(dāng)M、N分別與對角線BD的兩個端點重合時，距離最遠(yuǎn)，
因此|MN|的最大值是|BD|=$\sqrt{{（5-1）}^{2}+{（1-2）}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
故答案為：$\sqrt{17}$．

點評 本題給出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)動點M、N，求|MN|的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和平面內(nèi)兩點間的距離公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．