【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，，，， ，為的中點(diǎn).

（1）平面平面

（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，求出的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由四邊形為矩形，所以，再由勾股定理，得到，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而得到平面平面.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量為，又由平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解，得到結(jié)論.

（1）證明：由題意知，四邊形為矩形，所以，

又∵四邊形為菱形，為中點(diǎn)，

所以，，，所以，所以，

又，所以平面，又平面，

所以平面平面

（2）假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使二面角的大小為，在上取一點(diǎn)，

連接，.

由于四邊形是菱形，且，是的中點(diǎn)，可得.

又四邊形是矩形，平面平面，∴平面，

所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

則，，，，

則，，設(shè)平面的法向量為，

則，∴，令，則，

又平面的法向量，

所以，解得，

所以在線段上存在點(diǎn)，使二面角的大小為，此時(shí).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓:與直線:,:,過橢圓上的一點(diǎn)作,的平行線,分別交,于,兩點(diǎn),若為定值,則橢圓的離心率為______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為評(píng)估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能，從該設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：

直徑/

78

79

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

93

合計(jì)

件數(shù)

1

1

3

5

6

19

33

18

4

4

2

1

2

1

100

經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率的估計(jì)值.

（1）為評(píng)判一臺(tái)設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判（表示相應(yīng)事件的頻率）：

①；②；③，評(píng)判規(guī)則為：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備等級(jí)為甲；僅滿足其中兩個(gè)，則等級(jí)為乙；若僅滿足其中一個(gè)，則等級(jí)為丙；若全部不滿足，則等級(jí)為丁.試判斷設(shè)備的性能等級(jí).

（2）將直徑小于等于的零件或直徑大于等于的零件認(rèn)定為是“次品”，將直徑小于等于的零件或直徑大于等于的零件認(rèn)定為是“突變品”，從樣本的“次品”中隨意抽取2件零件，求“突變品”個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓：的左，右焦應(yīng)分別是，，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線：與橢圓切于點(diǎn)，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且與直線交于點(diǎn).證明：存在常數(shù)，使得，并求的值；

（3）點(diǎn)是橢圓上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接，，設(shè)后的角平分線交的長軸于點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)，的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)及上任意一點(diǎn)，稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”，記作，給出下列三個(gè)命題：

①對(duì)任意三點(diǎn)、、，都有；

②已知點(diǎn)和直線：，則；

③到定點(diǎn)的距離和到的“切比雪夫距離”相等的點(diǎn)的軌跡是正方形.

其中正確的命題有（ ）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若曲線與在點(diǎn)處有相同的切線，求函數(shù)的極值；

（2）若，討論函數(shù)的單調(diào)性.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，四個(gè)點(diǎn)，，，中有3個(gè)點(diǎn)在橢圓：上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（，不是橢圓的頂點(diǎn)），點(diǎn)在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：存在常數(shù)使得，并求出的值.

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，，且.M是棱SB的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：面SCD；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)N是直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，MN與面SAB所成的角為，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)圖象在點(diǎn)處的切線與的圖象相切，求的值；

（3）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的最大值．

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