【題目】如圖,四棱錐中,平面,,,,為的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面平面;
(Ⅱ)求異面直線與所成角的余弦值;
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ);(Ⅲ) .
【解析】
(Ⅰ)由線面平行的性質(zhì)可得,由勾股定理可得,從而可得平面,進(jìn)而可得結(jié)果;(Ⅱ)取的中點(diǎn)為,連接,可證明為平行四邊形,,是與所成的角,利用余弦定理可得結(jié)果;(Ⅲ) 作于,由面面垂直的性質(zhì)可得平面,連接,則就是直線與平面所成角,求出與的值,進(jìn)而可得結(jié)果.
(Ⅰ)平面平面,
,
,
,
又平面,
平面,
平面平面;
(Ⅱ)
取的中點(diǎn)為,連接,
則,
為平行四邊形,,
是與所成的角,,
,,
又直角三角形中,
所以,
,
即異面直線與所成角的余弦值為;
(Ⅲ)
作,為垂足.
由(Ⅰ)知平面平面,
平面平面,
平面,連接,則
就是直線與平面所成角,
在中,,
,
即直線與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為奇函數(shù), 為偶函數(shù),且.
(1)求及的解析式及定義域;
(2)若關(guān)于的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(3)如果函數(shù),若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,離心率為,過的直線與橢圓交于兩點(diǎn),且的周長為
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓分別交于兩點(diǎn),且,試問點(diǎn)到直線的距離是否為定值,證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用五種不同顏色給三棱臺的六個(gè)頂點(diǎn)染色,要求每個(gè)點(diǎn)染一種顏色,且每條棱的兩個(gè)端點(diǎn)染不同顏色.則不同的染色方法有___________種.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題p:k2﹣8k﹣20≤0,命題q:方程1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.
(1)命題q為真命題,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)若命題“p∨q”為真,命題“p∧q”為假,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1) 如果,求函數(shù)的值域;
(2) 求函數(shù)=的最大值;
(3) 如果對不等式中的任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,其中常數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求證: ;
(3)求證: .
選做題:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某老小區(qū)建成時(shí)間較早,沒有集中供暖,隨著人們生活水平的日益提高熱力公司決定在此小區(qū)加裝暖氣該小區(qū)的物業(yè)公司統(tǒng)計(jì)了近五年(截止2018年年底)小區(qū)居民有意向加裝暖氣的戶數(shù),得到如下數(shù)據(jù)
年份編號x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
加裝戶數(shù)y | 34 | 95 | 124 | 181 | 216 |
(Ⅰ)若有意向加裝暖氣的戶數(shù)y與年份編號x滿足線性相關(guān)關(guān)系求y與x的線性回歸方程并預(yù)測截至2019年年底,該小區(qū)有多少戶居民有意向加裝暖氣;
(Ⅱ)2018年年底鄭州市民生工程決定對老舊小區(qū)加裝暖氣進(jìn)行補(bǔ)貼,該小區(qū)分到120個(gè)名額物業(yè)公司決定在2019年度采用網(wǎng)絡(luò)競拍的方式分配名額,競拍方案如下:①截至2018年年底已登記在冊的居民擁有競拍資格;②每戶至多申請一個(gè)名額,由戶主在競拍網(wǎng)站上提出申請并給出每平方米的心理期望報(bào)價(jià);③根據(jù)物價(jià)部門的規(guī)定,每平方米的初裝價(jià)格不得超過300元;④申請階段截止后,將所有申請居民的報(bào)價(jià)自高到低排列,排在前120位的業(yè)主以其報(bào)價(jià)成交;⑤若最后出現(xiàn)并列的報(bào)價(jià),則認(rèn)為申請時(shí)問在前的居民得到名額,為預(yù)測本次競拍的成交最低價(jià),物業(yè)公司隨機(jī)抽取了有競拍資格的50位居民進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)了他們的擬報(bào)競價(jià),得到如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)求所抽取的居民中擬報(bào)競價(jià)不低于成本價(jià)180元的人數(shù);
(2)如果所有符合條件的居民均參與競拍,請你利用樣本估計(jì)總體的思想預(yù)測至少需要報(bào)價(jià)多少元才能獲得名額(結(jié)果取整數(shù))
參考公式對于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…(xn,yn),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的離心率為,以橢圓四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過橢圓E的右焦點(diǎn)作直線與E交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求面積的最大值,并求此時(shí)直線的方程.
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