Question

3．已知函數(shù)f（x）=cos（x-φ），且${∫}_{0}^{\frac{2}{3}π}$f（x）dx=0，則函數(shù)f（x）的圖象的一個對稱中心為（　�。�

• A． （$\frac{π}{12}$，0）
• B． （$\frac{π}{6}$，0）
• C． （$\frac{π}{4}$，0）
• D． （$\frac{π}{3}$，0）

Answer 1

分析 由條件求得$\sqrt{3}$cos（φ-$\frac{π}{3}$）=0，可取φ=-$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)f（x）=cos（x+$\frac{π}{6}$）．再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得f（x）的圖象的一個對稱中心．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=cos（x-φ），且${∫}_{0}^{\frac{2}{3}π}$f（x）dx=sin（x-φ）${|}_{0}^{\frac{2π}{3}}$
=sin（$\frac{2π}{3}$-φ）-sin（-φ）=sin$\frac{2π}{3}$cosφ-cos$\frac{2π}{3}$sinφ+sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosφ+$\frac{3}{2}$sinφ
=$\sqrt{3}$cos（φ-$\frac{π}{3}$）=0，
故可取φ=-$\frac{π}{6}$，函數(shù)f（x）=cos（x+$\frac{π}{6}$）．
令x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=kπ+$\frac{π}{3}$，故函數(shù)f（x）的圖象的對稱中心為（kπ+$\frac{π}{3}$，0），k∈Z．
再結合所給的選項，
故選：D．

點評 本題主要考查求定積分，三角恒等變換，余弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎題．