Question

【題目】設函數(shù)．

（1）若不等式對恒成立，求的值；

（2）若在內有兩個極值點，求負數(shù)的取值范圍；

（3）已知，，若對任意實數(shù)，總存在正實數(shù)，使得成立，求正實數(shù)的取值集合．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）；（3）

【解析】

（1）討論，和三種情況，分別計算得到答案.

（2）求導得到，討論，，三種情況，分別計算得到答案.

（3）在上是增函數(shù)，其值域為，若，則函數(shù)在上是增函數(shù)，值域為，記，則

根據(jù)得到答案.

（1）若，則當時，，，，不合題意；

若，則當時，，，，不合題意；

若，則當時，，，，

當時，，，，

當時，，滿足題意，因此=．

（2），，

令，，則，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

因此 點，在

（i）當時，，，在內至多有一個極值點．

（ii）當時，由于，所以，

而，，，

因此在上無零點，在上有且僅有一個零點，

從而上有且僅有一零點，在內有且僅有一個極值點．

（iii）當時，，，，

因此在上有且僅有一個零點，

從而在上有且僅有兩個零點，在內有且僅有兩個極值點．

綜上所述，的取值范圍為．

（3）因為對任意實數(shù)，總存在實數(shù)，使得成立，

所以函數(shù)的值域為．

在上是增函數(shù)，其值域為，

對于函數(shù)，，當時，，

當時，，函數(shù)在上為單調減函數(shù)，

當時，，函數(shù)在上為單調增函數(shù)．

若，則函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，其值域為，又，不符合題意，舍去；

若，則函數(shù)在上是增函數(shù)，值域為，

由題意得，即 ①

記，則

當時，，在上為單調減函數(shù)．

當時，，在上為單調增函數(shù)．所以，當時，有最小值，

從而恒成立（當且僅當時， ②

由①②得，，所以．

綜上所述，正實數(shù)的取值集合為．