如圖，設(shè)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，且A、B兩點坐標為(是此拋物線的準線上的一點，O是坐標原點．

(1)

求證：；

(2)

直線PA、PF、PB的方向向量為(1，a)、(1，b)、(1，c)，求證：實數(shù)a、b、c成等差數(shù)列；

(3)

若

答案：
解析：

(1)

證明：當直線AB的斜率不存在時，設(shè)直線AB的方程為：，

則

……………………………………………………1分

(2)

由已知，

設(shè)

故

＝

∴a、b、c成等差數(shù)列……………………………………………………8分

(3)

解法一：

由(Ⅱ)可知

①若AB⊥x軸，則

②若則

同理可得

即

易知∠PFO，∠BPF，∠APF都是銳角

③若類似的也可證明

總上所述，……………………………………………………14分

解法二：

①如圖，若AB⊥x軸，則

②若∵A、B在拋物線上，

設(shè)AB中點為M，則

＝

所以PM是梯形ABDC的中位線，故P是CD中點

③若類似②可證

∴……………………………………………………14分


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(2)求弦AB中點M的軌跡方程．

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(1)當m＝1時，求橢圓C2的方程；

(2)當△PF1F2的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)時，求△MPQ面積的最大值．

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如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的頂點作兩條互相垂直的弦OA、OB．

(1)設(shè)OA的斜率為k，試用k表示點A、B的坐標；

(2)求弦AB中點M的軌跡方程．

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(Ⅰ)當m＝1時，求橢圓C2的方程；

(Ⅱ)當△PF1F2的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)時，求△MPQ面積的最大值．

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