在平面直角坐標系中,點為動點,分別為橢圓的左右焦點.已知△為等腰三角形.(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)直線與橢圓相交于兩點,是直線上的點,滿足,求點的軌跡方程.
(1) ; (2) .
解析試題分析:(1)設(shè)出焦點,由條件為等腰三角形,分析出,代入兩點間距離公式,利用消去,得a、c的關(guān)系,得出e的值;(2)由得,,推出橢圓方程,由即,,得,得,與橢圓:聯(lián)立得交點A,B的坐標,再表示,代入中,整理得點的軌跡方程.
試題解析:(1)設(shè),
由題意,可得,即, 2分
整理得,得 (舍)或,所以. 4分
(2)由(1)知,,可得橢圓方程為.
直線方程為 5分
兩點的坐標滿足方程組,消去y并整理得 6分
解得得方程組的解, 8分
不妨設(shè),,設(shè)的坐標為
則,, 10分
由得.
于是, 11分
由得,
化簡得, 13分
將代入得,
由得.因此,點的軌跡方程是. 14分
考點:1.兩點間距離公式;2.斜率公式.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
拋物線與直線相切,是拋物線上兩個動點,為拋物線的焦點,的垂直平分線與軸交于點,且.
(1)求的值;
(2)求點的坐標;
(3)求直線的斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知動點與定點的距離和它到直線的距離之比是常數(shù),記的軌跡為曲線.
(I)求曲線的方程;
(II)設(shè)直線與曲線交于兩點,點關(guān)于軸的對稱點為,試問:當變化時,直線與軸是否交于一個定點?若是,請寫出定點的坐標,并證明你的結(jié)論;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
經(jīng)過點且與直線相切的動圓的圓心軌跡為.點、在軌跡上,且關(guān)于軸對稱,過線段(兩端點除外)上的任意一點作直線,使直線與軌跡在點處的切線平行,設(shè)直線與軌跡交于點、.
(1)求軌跡的方程;
(2)證明:;
(3)若點到直線的距離等于,且△的面積為20,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知是橢圓的右焦點,圓與軸交于兩點,是橢圓與圓的一個交點,且.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)過點與圓相切的直線與的另一交點為,且的面積等于,求橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的兩個焦點分別為,且,點在橢圓上,且的周長為6.
(I)求橢圓的方程;
(II)若點的坐標為,不過原點的直線與橢圓相交于兩點,設(shè)線段的中點為,點到直線的距離為,且三點共線.求的最大值.
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在直角坐標平面內(nèi),y軸右側(cè)的一動點P到點的距離比它到軸的距離大
(Ⅰ)求動點的軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè)為曲線上的一個動點,點,在軸上,若為圓的外切三角形,求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知拋物線的頂點為原點,其焦點到直線:的距離為.設(shè)為直線上的點,過點作拋物線的兩條切線,其中為切點.
(Ⅰ) 求拋物線的方程;
(Ⅱ) 當點為直線上的定點時,求直線的方程;
(Ⅲ) 當點在直線上移動時,求的最小值.
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