Question

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）動(dòng)直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T．若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)知，所以，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，代入可得b=1，，由此可知所求橢圓方程為
（2）首先求出動(dòng)直線過（0，）點(diǎn)．當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：；當(dāng)L與y軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x²+y²=1．由．由此入手可求出點(diǎn)T的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，
∴∴
又∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，代入可得b=1，
∴，故所求橢圓方程為（3分）
（2）首先求出動(dòng)直線過（0，）點(diǎn)．（5分）
當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：
當(dāng)L與y軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x²+y²=1
由
即兩圓相切于點(diǎn)（0，1），因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）．事實(shí)上，點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn)．（7分）
證明如下：
當(dāng)直線L垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（0，1）
若直線L不垂直于x軸，可設(shè)直線L：
由
記點(diǎn)A（x₁，y₁）、（9分）==
所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（0，1）
所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1）滿足條件．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解．