Question

（10分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，∥，，平面⊥底面，為的中點，是棱上的點，，，．

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；

（Ⅱ）若為棱的中點，求異面直線與

所成角的余弦值.

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）要證面面垂直，需要證線面垂直，即證平面或⊥平面；

又需利用線線垂直或面面垂直，本題利用面面垂直，即平面⊥底面轉化為證或，利用平行四邊形或等腰三角形三線合一得證。（2）第一種方法:向量法，以為原點建立空間直角坐標系，利用第二種方法:幾何法，連接交于點，連接，則，所以就是異面直線與所成角，解三角形

試題解析：（Ⅰ）法一：為的中點，

又即

四邊形為平行四邊形，

即

又∵平面平面

且平面平面

平面

又平面，平面平面

法二：，，為的中點，且.

四邊形為平行四邊形，

∵ 即

∵

∵ ，⊥平面．∵ 平面，平面⊥平面．

（Ⅱ）∵，為的中點，

∴．

∵平面平面 且平面平面

∴平面．

如圖，以為原點建立空間直角坐標系．

則，，，

，

∵是中點，∴

∴

設異面直線與所成角為

則

∴異面直線與所成角的余弦值為

法二、連接交于點，連接，則

所以就是異面直線與所成角

由（1）知平面，所以進而

考點：線面垂直定理與異面直線所成的角