Question

【題目】已知過(guò)拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)F，斜率為 的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于 兩點(diǎn)，且 .
（1）求該拋物線(xiàn)E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F任意作互相垂直的兩條直線(xiàn) ，分別交曲線(xiàn)E于點(diǎn)C,D和M,N.設(shè)線(xiàn)段 的中點(diǎn)分別為P,Q，求證：直線(xiàn)PQ恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】
（1）解：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn) ，∴直線(xiàn)AB的方程為：
聯(lián)立方程組 ，消元得： ，
∴
∴ ，解得 .
∵ ，∴拋物線(xiàn)E的方程為：
（2）解：設(shè)C,D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為 ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ..
由題意可設(shè)直線(xiàn) 的方程為 .
由 ，得 .

因?yàn)橹本�(xiàn) 與曲線(xiàn)E于C,D兩點(diǎn)，所以 .
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .
由題知，直線(xiàn) 的斜率為 ，同理可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 .
當(dāng) 時(shí)，有 ，此時(shí)直線(xiàn)PQ的斜率 .
所以，直線(xiàn)PQ的方程為 ，整理得 .
于是，直線(xiàn)PQ恒過(guò)定點(diǎn) ；
當(dāng) 時(shí)，直線(xiàn)PQ的方程為 ，也過(guò)點(diǎn) .
綜上所述，直線(xiàn)PQ恒過(guò)定點(diǎn) .
【解析】（1）設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立拋物線(xiàn)與直線(xiàn)，得到一元二次方程，利用韋達(dá)定理得到坐標(biāo)間的關(guān)系，最后用兩點(diǎn)之間的距離公式求得p的值。
（2）設(shè)出直線(xiàn)l1和點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，同理求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，由此得出直線(xiàn)PQ的方程，檢驗(yàn)即可發(fā)現(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)。