Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4．

(Ⅰ)求a，b的值；

(Ⅱ)討論f(x)的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】(1)a＝4，b＝4;(2)見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處切線方程為y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；

（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)性．

試題解析：

(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，

由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8．

從而a＝4，b＝4．

由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，

f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·．

令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2．

當(dāng)x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(－2，－ln 2)時(shí)，f′(x)＜0．

故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－2，－ln 2)上單調(diào)遞減．