Question

5．如圖，底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，∠ABD=60°，E為PC上一動點，PA=AC．
（1）求證BD⊥AE；
（2）當AE⊥平面PBD時，求$\frac{PE}{CE}$的值；
（3）在（2）的條件下，求AD與平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合菱形的性質(zhì)，根據(jù)線面垂直推出線線垂直即可；（2）建立坐標系，設(shè)$\frac{PE}{PC}=λ＞0$，根據(jù)AE⊥平面PBD，由$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PD}=0$，求出λ的值即可；（3）根據(jù)AE是平面PBD的一個法向量，代入公式求出即可．

解答 解（1）菱形ABCD⇒AC⊥BD，PA⊥面ABCD⇒PA⊥BD，
又PA∩AC=A，所以BD⊥面PAC，又AE?面PAC，所以BD⊥AE；
（2）連接AC交BD于點O，以O(shè)為圓心，OA，OB分別為x，y軸，建立如圖所示空間坐標系，
如圖示：
，
設(shè)AB=2，則$A（\sqrt{3}，0，0），C（-\sqrt{3}，0，0）$，B（0，1，0），D（0，-1，0），$P（\sqrt{3}，0，2\sqrt{3}）$，
設(shè)$\frac{PE}{PC}=λ＞0$，$E（\sqrt{3}-2\sqrt{3}λ，0，2\sqrt{3}-2\sqrt{3}λ）$，
AE⊥平面PBD，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PD}=0$，則$λ=\frac{2}{3}$，$\frac{PE}{CE}=2$；
（3）因為AE⊥平面PBD，
所以AE是平面PBD的一個法向量，取$A\overrightarrow E=（-2，0，1）$
設(shè)AD與平面PBD所成角為θ，
則$sinθ=\frac{{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}|}}{{|\overrightarrow{AD|}•\overrightarrow{|AE|}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．

點評 本題考查了線面垂直的性質(zhì)即判定，考查線面角問題，是一道中檔題．