Question

已知點(diǎn)P（2，0）及圓C：x²+y²-6x+4y+4=0．
（Ⅰ）若直線l過點(diǎn)P且與圓心C的距離為1，求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)過P直線l₁與圓C交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|=4時，求以MN為直徑的圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)直線ax-y+1=0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)a，使得過點(diǎn)P（2，0）的直線l₂垂直平分弦AB？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）分兩種情況：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)出直線l的斜率為k，由P的坐標(biāo)和設(shè)出的k寫出直線l的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出P到直線l的距離d，讓d等于1列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P寫出直線l的方程即可；當(dāng)直線l的斜率不存在時，得到在線l的方程，經(jīng)過驗(yàn)證符合題意；
（Ⅱ）由利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心C到P的距離，再根據(jù)弦長|MN|的一半及半徑，利用勾股定理求出弦心距d，發(fā)現(xiàn)|CP|與d相等，所以得到P為MN的中點(diǎn)，所以以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)即為P的坐標(biāo)，半徑為|MN|的一半，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可；
（Ⅲ）把已知直線的方程代入到圓的方程中消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，因?yàn)橹本�與圓有兩個交點(diǎn)，所以得到△＞0，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍，利用反證法證明：假設(shè)符合條件的a存在，由直線l₂垂直平分弦AB得到圓心必在直線l₂上，根據(jù)P與C的坐標(biāo)即可求出l₂的斜率，然后根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為-1，即可求出直線ax-y+1=0的斜率，進(jìn)而求出a的值，經(jīng)過判斷求出a的值不在求出的范圍中，所以假設(shè)錯誤，故這樣的a不存在．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)直線l的斜率為k（k存在）則方程為y-0=k（x-2）．
又圓C的圓心為（3，-2），半徑r=3，
由，解得．
所以直線方程為，即3x+4y-6=0；
當(dāng)l的斜率不存在時，l的方程為x=2，經(jīng)驗(yàn)證x=2也滿足條件；
（Ⅱ）由于，而弦心距，
所以d=，所以P為MN的中點(diǎn)，
所以所求圓的圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑為|MN|=2，
故以MN為直徑的圓Q的方程為（x-2）²+y²=4；
（Ⅲ）把直線ax-y+1=0即y=ax+1．代入圓C的方程，消去y，整理得（a²+1）x²+6（a-1）x+9=0．
由于直線ax-y+1=0交圓C于A，B兩點(diǎn)，
故△=36（a-1）²-36（a²+1）＞0，即-2a＞0，解得a＜0．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）．
設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在，
由于l₂垂直平分弦AB，故圓心C（3，-2）必在l₂上．
所以l₂的斜率k_PC=-2，
而，
所以．
由于，
故不存在實(shí)數(shù)a，使得過點(diǎn)P（2，0）的直線l₂垂直平分弦AB．
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生掌握直線與圓的位置關(guān)系，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式及兩點(diǎn)間的距離公式化簡求值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，以及會利用反證法進(jìn)行證明，是一道綜合題．