Question

（文科）設(shè)A、B分別是直線和上的兩個動點，并且，滿足．（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）若點D的坐標(biāo)為（0，16），M、N是曲線C上的兩個動點，且（λ≠1），求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)動點P（x，y），再由題意設(shè)出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)列出坐標(biāo)之間的關(guān)系，再由和向量模的公式，列出關(guān)于x和y的關(guān)系式，化簡后得到所求的軌跡方程；
（2）設(shè)N（s，t），M（x，y），由和D的坐標(biāo)列出方程組，用s和t來表示x和y，再代入曲線方程消去s，求出t有關(guān)λ的表達(dá)式，再由|t|≤4求出λ的不等式．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y），
由題可令，，
∵，
∴即
又∵，
∴，即有．
∴軌跡C的方程為
（2）設(shè)N（s，t），M（x，y），
則由可得，（x，y-16）=λ（s，t-16），故x=λs，y=16+λ（t-16），
∵N、M在曲線C上，
∴
消去s得，．
∵λ≠0且λ≠1，
∴
又∵|t|≤4，
∴，解得（λ≠1）
故實數(shù)λ的取值范圍為（λ≠1）．
點評：本題主要考查了求軌跡方程和橢圓性質(zhì)的綜合應(yīng)用．解題的前提是要求學(xué)生對基礎(chǔ)知識有相當(dāng)熟練的把握．