Question

已知f（x）=

ax2+b

x2+1

．若當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）的最小值是5
（Ⅰ）求b的取值范圍；
（Ⅱ）對(duì)給定的b，求a．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,基本不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）由f（0）=b，當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）的最小值是5，可得b≥5；
（II）分b-2a≥0時(shí)，和當(dāng)b-2a＜0時(shí)，兩種情況，結(jié)合基本不等式和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，可求出滿足條件的a的范圍．

解答： 解：（I）∵f（0）=b，
當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）的最小值是5
∴b≥5，且a＞0，
（II）（i）當(dāng)b-2a≥0時(shí)，f（x）=

ax2+b

x2+1

=a

x2+1

+

b-a

x2+1

≥2

a(b-a)

=5      …（6分）
當(dāng)且僅當(dāng)a

x2+1

=

b-a

x2+1

時(shí)，即x=±

b-2a a

時(shí)取到    …（8分）
此時(shí)，a=

b- b2-25

2

，特別當(dāng)b=5時(shí)，a=

5

2

           …（10分）
（ii）當(dāng)b-2a＜0時(shí)，
令t=

x2+1

．（t≥1），
則f（x）=g（t）=at+

b-a

t

，當(dāng)t≥1時(shí)為增函數(shù)    …（12分）
故f（x）的最小值滿足g（1）=a+b-a=b=5，此時(shí)a＞

5

2

綜上所述當(dāng)b=5時(shí)，a≥

5

2

；當(dāng)b＞5時(shí)，a=

b- b2-25

2

   …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，基本不等式，綜合性強(qiáng)，轉(zhuǎn)化麻煩，屬于難題．