【題目】已知三棱錐(如圖1)的平面展開圖(如圖2)中,四邊形為邊長等于的正方形,均為正三角形,在三棱錐中:

1)證明:平面平面;

2)若點在棱上運動,當直線與平面所成的角最大時,求二面角的正切值.

【答案】1)證明見解析(2

【解析】

1)取中點,連接,則,由此能證明平面平面2)由,得平面,從而是直線與平面所成角,且,進而當最短時,即中點時,最大,由平面,得,以所在直線分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系,利用向量法先求出二面角的余弦值,根據(jù)同角三角函數(shù)關系即可求出正切值.

(1 )三棱錐(如圖1)的平面展開圖(如圖2)中

四邊形為邊長等于的正方形,均為正三角形,

中點,連接

,

,

平面,

平面,

平面平面

2)由(1)知,

,

平面

是直線與平面所成角,且,

最短時,即中點時,最大,

平面,得,

所在直線分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系,如圖:

,

設平面的法向量,

,取,得

設平面的法向量,

,取,得

設二面角的平面角為,

,

所以,

二面角的正切值為.

練習冊系列答案
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【題目】某學校高一、高二、高三三個年級共有名教師,為調查他們的備課時間情況,通過分層抽樣獲得了名教師一周的備課時間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時).

高一年級

高二年級

高三年級

(1)試估計該校高三年級的教師人數(shù);

(2)從高一年級和高二年級抽出的教師中,各隨機選取一人,高一年級選出的人記為甲,高二年級選出的人記為乙,求該周甲的備課時間不比乙的備課時間長的概率;

(3)再從高一、高二、高三三個年級中各隨機抽取一名教師,他們該周的備課時間分別是, (單位:小時),這三個數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構成的新樣本的平均數(shù)記為,表格中的數(shù)據(jù)平均數(shù)記為,試判斷的大小,并說明理由.

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【題目】某公司試銷一種成本單價為500/件的新產(chǎn)品,規(guī)定試銷時銷售單價不低于成本單價,又不高于800/件.經(jīng)試銷調查,發(fā)現(xiàn)銷售量(件)與銷售單價(元/件)可近似看作一次函數(shù)的關系(如圖所示).

1)由圖象,求函數(shù)的表達式;

2)設公司獲得的毛利潤(毛利潤=銷售總價﹣成本總價)為元.試用銷售單價表示毛利潤,并求銷售單價定為多少時,該公司獲得最大毛利潤?最大毛利潤是多少?此時的銷售量是多少?

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【題目】市政府為了促進低碳環(huán)保的出行方式,從全市在冊的50000輛電動車中隨機抽取100輛,委托專業(yè)機構免費為它們進行電池性能檢測.電池性能分為需要更換、尚能使用、較好、良好四個等級,并分成電動自行車和電動汽車兩個群體分別進行統(tǒng)計,樣本分布如下圖.

(1)從電池性能較好的電動車中,采用分層抽樣的方法隨機抽取了9輛,求再從這9輛電動車中隨機抽取2輛,至少有1輛為電動汽車的概率;

(2)為提高市民對電動車的使用熱情,市政府準備為電動車車主一次性發(fā)放補助,標準如下:

①電動自行車每輛補助300元;

②電動汽車每輛補助500元;

③對電池需要更換的電動車每輛額外補助400元.

利用樣本估計總體,試估計市政府執(zhí)行此方案的預算(單位:萬元).

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【題目】中國已經(jīng)成為全球最大的電商市場,但是實體店仍然是消費者接觸商品和品牌的重要渠道.某機構隨機抽取了年齡介于10歲到60歲的消費者200人,對他們的主要購物方式進行問卷調查.現(xiàn)對調查對象的年齡分布及主要購物方式進行統(tǒng)計,得到如下圖表:

主要購物方式

年齡階段

網(wǎng)絡平臺購物

實體店購物

總計

40歲以下

75

40歲或40歲以上

55

總計

(1)根據(jù)已知條件完成上述列聯(lián)表,并據(jù)此資料,能否在犯錯誤的概率不超過的前提下,認為消費者主要的購物方式與年齡有關?

(2)用分層抽樣的方法從通過網(wǎng)絡平臺購物的消費者中隨機抽取8人,然后再從這8名消費者中抽取5名進行答謝.設抽到的消費者中40歲以下的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望.

參考公式:,其中.

臨界值表:

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【題目】判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題.

1)梯形的對角線相等;

2)存在一個四邊形有外接圓

3)二次函數(shù)的圖象都與x軸相交;

4)存在一對實數(shù)x,y,使成立

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【題目】判斷下列命題是否正確,正確的說明理由,錯誤的舉例說明.

1)一條直線平行于一個平面,另一條直線與這個平面垂直,則這兩條直線互相垂直;

2)如果平面平面,平面平面,那么平面與平面所成的二面角和平面與平面所成的二面角相等或互補;

3)如果平面平面,平面平面,那么平面平面.

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【題目】下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額(單位:億元)的折線圖.

為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額,建立了與時間變量的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量的值依次為)建立模型①;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量的值依次為)建立模型②

(1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值;

(2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠?并說明理由.

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【題目】2017527日當今世界圍棋排名第一的柯潔在與的人機大戰(zhàn)中中盤棄子認輸,至此柯潔與的三場比賽全部結束,柯潔三戰(zhàn)全負,這次人機大戰(zhàn)再次引發(fā)全民對圍棋的關注,某學校社團為調查學生學習圍棋的情況,隨機抽取了100名學生進行調查,根據(jù)調查結果繪制的學生日均學習圍棋時間的頻率分布直方圖(如圖所示),將日均學習圍棋時間不低于40分鐘的學生稱為“圍棋迷”.

(1)請根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否有95%的把握認為“圍棋迷”與性別有關?

非圍棋迷

圍棋迷

合計

10

55

合計

(2)為了進一步了解“圍棋迷”的圍棋水平,從“圍棋迷”中按性別分層抽樣抽取5名學生組隊參加校際交流賽,首輪該校需派兩名學生出賽,若從5名學生中隨機抽取2人出賽,求2人恰好一男一女的概率.

參考數(shù)據(jù):

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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