Question

已知數(shù)列和滿足：，，，
其中為實數(shù)，.
⑴ 對任意實數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列；
⑵ 證明：當，數(shù)列是等比數(shù)列；
⑶設為數(shù)列的前項和，是否存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有？
若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

⑴證明略⑵證明略⑶存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有，的取值范圍為.

⑴證明：假設存在一個實數(shù)，使是等比數(shù)列，則有，
即矛盾.
所以不是等比數(shù)列.
⑵ 解：因為


又，所以，當時，
由上可知，
此時是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
⑶當時，由⑵得 ，于是
，
當時，，從而上式仍成立.要使對任意正整數(shù)n , 都有.即
令，則
當n為正奇數(shù)時，；當n為正偶數(shù)時，.
的最大值為于是可得 .
綜上所述，存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有，的取值范圍為.