Question

設函數(shù)f（x）=lnx+

m

x

，m∈R
（1）當m=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求f（x）的最小值；
（2）討論函數(shù)g（x）=f′（x）-

x

3

零點的個數(shù)；
（3）（理科）若對任意b＞a＞0，

f(b)-f(a)

b-a

＜1恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,根的存在性及根的個數(shù)判斷,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）當m=e時，f′(x)=

x-e

x2

，x＞0，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的極小值．
（2）由g（x）=f′(x)-

x

3

=

x-m

x2

-

x

3

=0，得m=x-

x3

3

，令h（x）=x-

x3

3

，x＞0，m∈R，則h（1）=

2

3

，h′（x）=1-x²=（1+x）（1-x），由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)g（x）=f′（x）-

x

3

零點的個數(shù)．
（3）（理）當b＞a＞0時，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）當m=e時，f′(x)=

x-e

x2

，x＞0，
解f′（x）＞0，得x＞e，
∴f（x）單調(diào)遞增；
同理，當0＜x＜e時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）只有極小值f（e），
且f（e）=lne+

e

e

=2，
∴f（x）的極小值為2．
（2）∵g（x）=f′(x)-

x

3

=

x-m

x2

-

x

3

=0，
∴m=x-

x3

3

，
令h（x）=x-

x3

3

，x＞0，m∈R，
則h（1）=

2

3

，h′（x）=1-x²=（1+x）（1-x），
令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，
∴h（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，值域為（0，

2

3

）；
同理，令h′（x）＜0，解得x＞1，
∴g（x）要區(qū)是（1，+∞）上單調(diào)遞減，值域為（-∞，

2

3

）．
∴當m≤0，或m=

2

3

時，g（x）只有一個零點；
當0＜m＜

2

3

時，g（x）有2個零點；
當m＞

2

3

時，g（x）沒有零點．
（3）（理）當b＞a＞0時，

f(b)-f(a)

b-a

＜1，
即f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，
∵

x-m

x2

＜1，∴m＞x-x²，
∵當x＞0時，二次函數(shù)x-x²∈（-∞，

1

4

]，
∴m＞

1

4

．
∴當m∈（

1

4

，+∞）時，滿足題意．

點評：本題考查函數(shù)的極小值的求法，考查函數(shù)的零點的個數(shù)的討論，考查實數(shù)值的求法，解題時要注意構(gòu)造法、分類討論思想和導數(shù)性質(zhì)的合理運用．