Question

已知函數(shù)f（x）=x²ln|x|．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=kx-1有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先看當(dāng)x＞0時(shí)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f'（x）大于0或小于0時(shí)的f（x）的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷求得其它的單調(diào)區(qū)間．
（2）要使方程f（x）=kx-1有實(shí)數(shù)解，即要使函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx-1有交點(diǎn)，先看當(dāng)k＞0時(shí)，用導(dǎo)函數(shù)求出當(dāng)直線y=kx-1與f（x）的圖象相切時(shí)k的值，再根據(jù)對(duì)稱性求出k＜0時(shí)直線y=kx-1與f（x）的圖象相切時(shí)k的值，進(jìn)而求出f（x）=kx-1有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠0}
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=x（2lnx+1）若0＜x＜e-

1

2

，則f'（x）＜0，f（x）遞減；
若x＞e-

1

2

，則f'（x）＞0，f（x）遞增．
遞增區(qū)間是（-e-

1

2

，0）和（e-

1

2

，+∞）；
遞減區(qū)間是（-∞，-e-

1

2

）和（0，e-

1

2

）．
（2）要使方程f（x）=kx-1有實(shí)數(shù)解，即要使函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx-1有交點(diǎn)．
函數(shù)f（x）的圖象如圖．
先求當(dāng)直線y=kx-1與f（x）的圖象相切時(shí)k的值．
當(dāng)k＞0時(shí)，f'（x）=x•（2lnx+1）
設(shè)切點(diǎn)為P（a，f（a）），則切線方程為y-f（a）=f'（a）（x-a），
將x=0，y=-1代入，得-1-f（a）=f'（a）（-a）
即a²lna+a²-1=0（*）
顯然，a=1滿足（*）
而當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a²lna+a²-1＜0，
當(dāng)a＞1時(shí)，a²lna+a²-1＞0
∴（*）有唯一解a=1
此時(shí)k=f'（1）=1
再由對(duì)稱性，k=-1時(shí)，y=kx-1也與f（x）的圖象相切，
∴若方程f（x）=kx-1有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-1]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用．在解決函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，常利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)．