已知橢圓C：＝1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，且過點(2，)．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)M，N，P，Q是橢圓C上的四個不同的點，兩條都不和x軸垂直的直線MN和PQ分別過點F1，F(xiàn)2，且這兩條直線互相垂直，求證：為定值．
（1）＝1（2）
(1)由已知，e＝＝，所以＝＝1－e2＝，所以a2＝2b2.
所以C：＝1，即x2＋2y2＝2b2.
因為橢圓C過點(2，)，代入橢圓方程得b2＝4，所以a2＝8.
所以橢圓C的標準方程為＝1.
(2)證明：由(1)知橢圓的焦點坐標為F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)．
根據(jù)題意，可設直線MN的方程為y＝k(x＋2)，
由于直線MN與直線PQ互相垂直，則直線PQ的方程為y＝－(x－2)．
設M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由方程組消去y得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－8＝0.
則x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|MN|＝＝.同理可得|PQ|＝.
所以
練習冊系列答案
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