已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，且經過點P（1，
3
2
）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的右焦點，M為橢圓上一點，以M為圓心，MF為半徑作圓M．問點M滿足什么條件時，圓M與y軸有兩個交點？
（3）設圓M與y軸交于D、E兩點，求點D、E距離的最大值．
分析：（1）根據橢圓的離心率和經過點P建立關于a，b的方程組，解之即可求出橢圓的標準方程；
（2）設M（x0，y0），則
x
2
0
4
+
y
2
0
3
=1，求出圓M的方程，令x=0，化簡得到關于y的方程，然后利用判別式△＞0，可求出x0的范圍．
（3）設D（0，y1），E（0，y2），其中y1＜y2．由（2），得DE=y2-y1轉化成關于x0的二次函數(shù)求最值進行求解即可．
解答：解：（1）∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，且經過點P（1，
3
2
），
∴
a2-b2
a
=
1
2
1
a2
+
9
4b2
=1
，即
3a2-4b2=0
1
a2
+
9
4b2
=1
，解得
a2=4
b2=3
，
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）易求得F（1，0）．設M（x0，y0），則
x
2
0
4
+
y
2
0
3
=1，-2≤x0≤2
圓M的方程為（x-x0）2+（y-y0）2=（1-x0）2+y02，
令x=0，化簡得y2-2y0y+2x0-1=0，△=4y02-4（2x0-1）＞0①．
將y02=3（1-
x
2
0
4
）代入①，得3x02+8x0-16＜0，解出-4＜x0＜
4
3
．
∴-2≤x0＜
4
3
．
（3）設D（0，y1），E（0，y2），其中y1＜y2．由（2），得
DE=y2-y1=
4y
2
0
-4(2x0-1)
=
-3
x
2
0
-8x0+16
=
-3(x0+
4
3
) 2+
64
3
，
當x0=-
4
3
時，DE的最大值為
8
3
3
．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程，以及直線與圓的位置關系和線段的最值問題，是一道綜合題，有一定的難度．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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