Question

符號(hào)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[π]=3，[-1.08]=-2，定義函數(shù){x}=x-[x]，給出下列四個(gè)命題：
（1）函數(shù){x}的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，1]；
（2）方程{x}=

1

2

有無數(shù)個(gè)解；
（3）函數(shù){x}是周期函數(shù)；
（4）函數(shù){x}是增函數(shù)．
其中正確命題的個(gè)數(shù)有（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：利用[x]的定義，結(jié)合函數(shù)的定義域，值域周期性和單調(diào)性的定義分別進(jìn)行判斷．由周期函數(shù)的定義證明此函數(shù)為周期函數(shù)，使求出一個(gè)周期的上的值域，即為整個(gè)函數(shù)的值域，周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)

解答：解：①當(dāng)0≤x＜1時(shí)，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函數(shù){x}的值域?yàn)閇0，1），∴①錯(cuò)誤．
②當(dāng)x=

1

2

時(shí)，{x}=

1

2

，又∵函數(shù){x}=x-[x]是周期為1的函數(shù)，∴x=

1

2

+k時(shí)（k∈Z），{x}=

1

2

，∴②是正確的，
③∵函數(shù){x}的定義域?yàn)镽，又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，∴函數(shù){x}=x-[x]是周期為1的函數(shù)，∴③是正確的，
④∵函數(shù){x}是周期為1的函數(shù)，∴函數(shù){x}不是單調(diào)函數(shù)，∴④錯(cuò)誤
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義函數(shù) {x}=x-[x]的意義，通過舉反例來說明某個(gè)命題的正確性，是一種簡單有效的方法．