Question

【題目】如圖，橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為3，點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，不過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)l與C相交于A,B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB被直線(xiàn)OP平分

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）求面積最大值時(shí)的直線(xiàn)l的方程.

Answer 1

【答案】(1) (2) y＝

【解析】

（1）由已知可得，，解方程組即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）將代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法求出，設(shè)出，代入橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離以及三角形面積公式，求出面積，再利用導(dǎo)數(shù)思想求出面積最大值時(shí)的值，即可求出直線(xiàn)方程.

（1）由題：，

左焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，

即：，可解得：.

∴所求橢圓的方程為：.

（2）易得直線(xiàn)的方程：，設(shè)，，

的中點(diǎn).其中.

∵在橢圓上，

∴

整理得：，

因?yàn)?/span>，代入求得：.

設(shè)直線(xiàn)的方程為，，

代入橢圓：.

由，可得：，且.

由上又有：，，

∴.

∵點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為：，

∴.

令， 且.

，

整理得：

當(dāng)時(shí)，取得最大值，

此時(shí)直線(xiàn)的方程.