Question

1．在平面區(qū)域{（x，y）||x|≤1，|y丨≤1}上恒有ax-2by≤2．
（1）求P（a，b）所形成平面區(qū)域的面積；
（2）求z=$\frac{b-3}{a+3}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先依據(jù)不等式組{（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，結(jié)合二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關(guān)系畫(huà)出其表示的平面區(qū)域，再利用求最優(yōu)解的方法，結(jié)合題中條件：“恒有ax-2by≤2”得出關(guān)于a，b的不等關(guān)系，最后再據(jù)此不等式組表示的平面區(qū)域求出面積即可；
（2）利用（1）a，b的范圍，結(jié)合z=$\frac{b-3}{a+3}$的幾何意義求最值．

解答 解：（1）令z=ax-2by，
∵ax-2by≤2恒成立，
即函數(shù)z=ax-2by在可行域要求的條件下，z_max=2恒成立．
當(dāng)直線(xiàn)ax-2by-z=0過(guò)點(diǎn)（1，1）或點(diǎn)（1，-1）或（-1，1）或（-1，-1）時(shí)，有：$\left\{\begin{array}{l}{a-2b≤2}\\{a+2b≤2}\\{-a-2b≤2}\\{-a+2b≤2}\end{array}\right.$．
點(diǎn)P（a，b）形成的圖形是圖中的菱形MNTS．
∴所求的面積S=2×$\frac{1}{2}$×4×1=4．
（2）z=$\frac{b-3}{a+3}$表示菱形內(nèi)的各點(diǎn)與點(diǎn)（-3，3）連接的直線(xiàn)的斜率，由（1）得z=$\frac{b-3}{a+3}$的最小值為$\frac{3}{-3+2}$=-3，最大值為$\frac{3}{-3-2}=-\frac{3}{5}$，
所以z=$\frac{b-3}{a+3}$的取值范圍是[-3，-$\frac{3}{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．目標(biāo)函數(shù)有唯一最優(yōu)解是我們最常見(jiàn)的問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題一般要分三步：畫(huà)出可行域、求出關(guān)鍵點(diǎn)、定出最優(yōu)解．