Question

已知函數(shù) ，．
(1）當  時，求函數(shù)  的最小值；
(2）當  時，討論函數(shù)  的單調(diào)性；
(3）是否存在實數(shù)，對任意的 ，且，有,恒成立，若存在求出的取值范圍，若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）最小值為 ．（2）（1）當時，若為增函數(shù)；
為減函數(shù)；為增函數(shù)．
(2)當時,時,為增函數(shù);
（3）當時，為增函數(shù)；
為減函數(shù)；
為增函數(shù)．  

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值，和不等式的證明綜合運用。
（1）利用已知函數(shù)求解函數(shù)的定義域，然后求解導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)數(shù)大于零或者小于零的解得到單調(diào)區(qū)間。
（2）根據(jù)已知的函數(shù)的單調(diào)性，對于參數(shù)a分情況討論，得到最值。
（3）假設(shè)存在實數(shù)a滿足題意，則利用函數(shù)的 單調(diào)性得到a的范圍
解；（1）顯然函數(shù)的定義域為，       .........1分
當．     ............2分
∴ 當，．
∴在時取得最小值，其最小值為 ．  ........ 4分
（2）∵， ....5分
∴（1）當時，若為增函數(shù)；
為減函數(shù)；為增函數(shù)．
(2)當時,時,為增函數(shù);
（3）當時，為增函數(shù)；
為減函數(shù)；
為增函數(shù)．    ............ 9分
（3）假設(shè)存在實數(shù)使得對任意的 ，且，有,恒成立，不妨設(shè)，只要，即：
令，只要 在為增函數(shù)
又函數(shù)．
考查函數(shù)   ............10分
要使在恒成立，只要，
故存在實數(shù)時，對任意的 ，且，有,恒成立，