Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=

3

5

，a_n+1=

3an

2an+1

，請證明a₁+a₂+…+a_n＞

n2

n+1

（用數(shù)學(xué)歸納法）

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由a_n+1=

3an

2an+1

，得

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，即

1

an+1

-1=

1

3

（

1

an

-1），又

1

a1

-1=

5

3

-1=

2

3

，故（

1

an

-1）是以

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列．求得a_n=

3n

3n+2

，再利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明．

解答： 解：∵a_n+1=

3an

2an+1

，∴

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，
∴

1

an+1

-1=

1

3

（

1

an

-1），又

1

a1

-1=

5

3

-1=

2

3

，
∴（

1

an

-1）是以

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
∴

1

an

-1=

2

3

•

1

3n-1

=

2

3n

，
∴a_n=

3n

3n+2

，
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時，由題意可知，左邊=a₁=

3

5

，右邊=

1

2

，命題成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1，k∈N）時命題成立，即a₁+a₂+…+a_k＞

k2

k+1

，
那么，當(dāng)n=k+1時，a₁+a₂+…+a_k+a_k+1＞

k2

k+1

+

3k+1

3k+1+2

＞

(k+1)2

(k+1)+1

，也就說，當(dāng)n=k+1時命題也成立，
綜上所述，a₁+a₂+…+a_n＞

n2

n+1

．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．