Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，且對任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．若f（3^x）+f（9^x-2）＞0，則實數(shù)x的取值范圍為（　�。�

• A、(0，

  1

  2

  )
• B、（0，+∞）
• C、（-∞，1）
• D、（1，+∞）

Answer 1

分析：本題考查的抽象函數(shù)的應(yīng)用，由于f（x+y）=f（x）+f（y），我們不難計算出f（0）=0，并由此進而給出函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在R上遞增，則f（3^x）+f（9^x-2）＞0可以轉(zhuǎn)化為一個指數(shù)不等式，解不等式即可求出滿足條件的實數(shù)x的取值范圍．

解答：解：由函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
且對任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）
f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0
∴f（x-x）=f（0）=0=f（x）+f（-x）．
即f（x）為奇函數(shù)，則f（x）在R單調(diào)遞增．
∴f（3^x）+f（9^x-2）＞0
可轉(zhuǎn)化為f（3^x+9^x-2）=f[（3^x）²+3^x-2]＞0=f（0）
即（3^x）²+3^x-2＞0
解得3^x＜-2，或3^x＞1
結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，解得x＞0
故選B

點評：本題的解答過程比較復(fù)雜，當我們遇到一個抽象函數(shù)時，我們要分析其已知條件，湊出一些特殊點的函數(shù)值，分析函數(shù)的性質(zhì)，然后對要求的不等式進行轉(zhuǎn)化．