Question

3．過點(diǎn)P（2，1）的直線l與函數(shù)f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的圖象交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}$=（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 5
• D． 10

Answer 1

分析 f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$=1+$\frac{\frac{7}{2}}{x-2}$，可得函數(shù)f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的圖象關(guān)于點(diǎn)P（2，1）對(duì)稱，過點(diǎn)P（2，1）的直線l與函數(shù)f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的圖象交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P（2，1）對(duì)稱⇒$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OP}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）=2{\overrightarrow{OP}}^{2}$即可．

解答 解：f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$=1+$\frac{\frac{7}{2}}{x-2}$，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的圖象關(guān)于點(diǎn)P（2，1）對(duì)稱，
∴過點(diǎn)P（2，1）的直線l與函數(shù)f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的圖象交于A，B兩點(diǎn)，
A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P（2，1）對(duì)稱，∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OP}$，
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OP}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）=2{\overrightarrow{OP}}^{2}$，|$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{{2}^{2}+1}=\sqrt{5}$，
∴則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}$=2×5=10．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的對(duì)稱性及向量的運(yùn)算，屬于中檔題．