【題目】已知A(-2,0),B(2,0)為橢圓C的左、右頂點,F(xiàn)為其右焦點,P是橢圓C上異于A,B的動點,且△APB面積的最大值為。

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)直線AP與橢圓在點B處的切線交于點D,當(dāng)點P在橢圓上運動時,求證:以BD為直徑的圓與直線PF恒相切.

【答案】(Ⅰ)橢圓C的方程為(Ⅱ)見解析

【解析】

(1)根據(jù)題意得到a,b,c的方程組,解方程組即得橢圓C的方程.(2)求證圓心到直線PF的距離等于|BD|,即證以BD為直徑的圓與直線PF恒相切.

(1)由題意可設(shè)橢圓C的方程為 (a>b>0),F(xiàn)(c,0).

由題意知,解得b=,c=1.

故橢圓C的方程為,離心率為。

(2)證明:由題意可設(shè)直線AP的方程為y=k(x+2)(k≠0)。

則點D坐標(biāo)為(2,4k),BD中點E的坐標(biāo)為(2,2k).

設(shè)點P的坐標(biāo)為,則

所以

因為點F坐標(biāo)為(1,0),

當(dāng)k=±時,點P的坐標(biāo)為,直線PF⊥x軸,點D的坐標(biāo)為(2,±2).

此時以BD為直徑的圓(與直線PF相切.

當(dāng)時,則直線PF的斜率,

所以直線PF的方程為,

E到直線PF的距離

又因為|BD|=4|k|,所以d=|BD|.

故以BD為直徑的圓與直線PF相切.

綜上得,當(dāng)點P在橢圓上運動時,以BD為直徑的圓與直線PF恒相切.

練習(xí)冊系列答案
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射擊次數(shù)

10

20

50

100

200

500

甲擊中10環(huán)以上的次數(shù)

9

17

44

92

179

450

甲擊中10環(huán)以上的頻率

射擊次數(shù)

10

20

50

100

200

500

乙擊中10環(huán)以上的次數(shù)

8

19

44

93

177

453

乙擊中10環(huán)以上的頻率

1)分別計算出兩位運動員擊中10環(huán)以上的頻率;

2)根據(jù)(l)中的計算結(jié)果預(yù)測兩位運動員在比賽時擊中10環(huán)以上的概率.

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(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和所給統(tǒng)計量,求y關(guān)于x的線性回歸方程(參考統(tǒng)計量:);

(2)試估計:①該縣第一年養(yǎng)殖山羊多少萬只?

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