Question

若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x+y＞2．求證：

1+x

y

和

1+y

x

中至少有一個小于2．

Answer 1

考點：反證法與放縮法

專題：證明題,反證法

分析：本題證明結論中結構較復雜，而其否定結構簡單，故可用反證法證明其否定不成立，以此來證明結論成立．

解答： 證明：假設

1+x

y

與

1+y

x

都大于或等于2，
即

1+x

y

≥2且

1+y

x

≥2，
∵x，y∈R⁺，故可化為1+x≥2y且1+y≥2x，
兩式相加，得x+y≤2，
與已知x+y＞2矛盾．
∴假設不成立，即原命題成立．

點評：本考點是反證法證明命題，在作證明題時，對于一些條件相對較少或者證明時需要分類討論的題型，最好試試用反證法能否證明問題．對于有些題如本題，用反證法證明可以大大降低題目的解決難度．