Question

15．已知$f（x）=2cos（2x+\frac{π}{3}）+4\sqrt{3}$sinxcosx+1．
（1）若f（x）的定義域?yàn)?[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，求f（x）的值域；
（2）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，當(dāng)f（A）=2，b+c=2，a=1時(shí)，求bc的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)倍角公式和和差角（輔助角）公式，將函數(shù)解析式化為正弦型函數(shù)的形式，進(jìn)而根據(jù)x∈$[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：f（x）的值域；
（2）由f（A）=2，可得A角，結(jié)合b+c=2，a=1及余弦定理，可得bc的值．

解答 解：（1）f（x）=2（cos2xcos$\frac{π}{3}$-sin2xsin$\frac{π}{3}$）+2$\sqrt{3}$sin2x+1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
當(dāng)x∈$[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$時(shí)，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
則f（x）的值域?yàn)閇0，3]．
（2）f（A）=2，即2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=2，即sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
即有2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得，A=$\frac{π}{3}$，
再由b+c=2，a=1及余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=4-3bc=1，
∴bc=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，余弦定理，其中利用倍角公式和和差角（輔助角）公式，將函數(shù)解析式化為正弦型函數(shù)的形式，是解答的關(guān)鍵．