Question

在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=CD=BC=2AD，AD∥BC，∠BCD=90°．
（Ⅰ）求證：BC⊥PC；
（Ⅱ）求PA與平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）線段PB上是否存在點(diǎn)E，使AE⊥平面PBC？說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求直線與平面的夾角,直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）通過證明BC⊥平面PCD，然后證明BC⊥PC；
（Ⅱ）通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出設(shè)平面PBC的法向量，然后求解PA與平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）法一：當(dāng)E為線段PB的中點(diǎn)時，AE⊥平面PBC．分別取PB，PC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)AE，DF，EF．
證明四邊形AEFD是平行四邊形．然后證明AE⊥平面PBC．即可推出線段PB上是否存在點(diǎn)E，使AE⊥平面PBC．
法二，利用空間直角坐標(biāo)系，通過向量共線，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

解答： （本小題滿分14分）
證明：（Ⅰ）在四棱錐P-ABCD中，
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC．
∵∠BCD=90°，
∴BC⊥CD．
∵PD∩DC=D，
∴BC⊥平面PCD．
∵PC?平面PCD，
∴BC⊥PC．…（4分）
（Ⅱ） 如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
不妨設(shè)AD=1，則PD=CD=BC=2．
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2）．
∴

PA

=(1，0，-2)，

PB

=(2，2，-2)，

PC

=(0，2，-2)．
設(shè)平面PBC的法向量

n

=（x，y，z）．
∴

n • PB =0 n • PC =0

．即

2x+2y-2z=0 2y-2z=0

．
令y=1，則x=0，z=1．
∴n=（0，1，1）
∴cos＜

PA

，n＞=

-2

5 • 2

=-

10

5

∴PA與平面PBC所成角的正弦值為

10

5

．…（9分）
（Ⅲ）（法一）當(dāng)E為線段PB的中點(diǎn)時，AE⊥平面PBC．
如圖：分別取PB，PC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)AE，DF，EF．
∴EF∥BC，且EF=

1

2

BC．
∵AD∥BC，且AD=

1

2

BC，
∴AD∥EF，且AD=EF．
∴四邊形AEFD是平行四邊形．
∴AE∥DF．
∵PD=CD，
∴三角形PCD是等腰三角形．
∴DF⊥PC．
∵BC⊥平面PCD，
∴DF⊥BC．
∵PC∩BC=C，
∴DF⊥平面PBC．
∴AE⊥平面PBC．
即在線段PB上存在點(diǎn)E，使AE⊥平面PBC．
（法二）設(shè)在線段PB上存在點(diǎn)E，當(dāng)

PE

=λ

PB

(0＜λ＜1)時，AE⊥平面PBC．
設(shè)E（x₀，y₀，z₀），則

PE

=(x0，y0，z0-2)．
∴（x₀，y₀，z₀-2）=λ（2，2，-2）．
即x₀=2λ，y₀=2λ，z₀=-2λ+2．
∴E（2λ，2λ，-2λ+2）．
∴

AE

=(2λ-1，2λ，-2λ+2)．
由（Ⅱ）可知平面PBC的法向量

n

=（0，1，1）．
若AE⊥平面PBC，

AE

∥

n

．
即

AE

=μ

n

．
解得λ=

1

2

，μ=1．
∴當(dāng)

PE

=

1

2

PB

，即E為PB中點(diǎn)時，AE⊥平面PBC．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查空間點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，直線與平面所成的角的求法，直線與平面垂直的判斷與性質(zhì)的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．