Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中點(diǎn)．
（1）求證：PB∥平面EAC；
（2）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（3）求三棱錐P-ACE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，由已知得OE∥PB，由此能證明PB∥平面EAC．
（2）由已知得PA⊥CD，AD⊥CD，得CD⊥平面PAD，由此能證明平面PDC⊥平面PAD．
（3）由三棱錐P-ACE的體積V=V_P-ACD-V_E-ACD，能求出結(jié)果．

解答： （1）證明：連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，
∵在底面ABCD是矩形，∴O是AC的中點(diǎn)，
連結(jié)OE，∵E是PD的中點(diǎn)，
∴OE∥PB，
∵OE?平面AEC，PB?AEC，
∴PB∥平面EAC．
（2）證明：∵在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，AD⊥CD，
又PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，
∴平面PDC⊥平面PAD．
（3）解：∵PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中點(diǎn)，
∴E到平面ACD的距離h=

1

2

PA=1，
S_△ACD=

1

2

×4×2=4，
∴三棱錐P-ACE的體積V=V_P-ACD-V_E-ACD=

1

3

×4×4-

1

3

×2×4=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查PB∥平面EAC的證明，考查平面PDC⊥平面PAD的證明，考查三棱錐P-ACE的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．