Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin²（ωx+$\frac{π}{4}$）+2cos²ωx（ω＞0）在區(qū)間[α，β]上既有最大值也有最小值，且β-α的最小值為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且f（C）=3+$\sqrt{3}$，c=1，試求△ABC的內(nèi)切圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）由f（C）=3+$\sqrt{3}$求得C的值，根據(jù)△ABC的面積為 $\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求得ab的值，再利用余弦定理求得a、b的值，再利用面積法求得△ABC的內(nèi)切圓的半徑．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin²（ωx+$\frac{π}{4}$）+2cos²ωx=$\sqrt{3}$（1-cos（2ωx+$\frac{π}{2}$）]+cos2ωx+1
=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx+$\sqrt{3}$+1=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$+1．
由于函數(shù)f（x）在區(qū)間[α，β]上既有最大值也有最小值，且β-α的最小值為$\frac{π}{2}$，
∴f（x）的周期為$\frac{2π}{2ω}$=2×$\frac{π}{2}$，∴ω=1，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$+1．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）由f（C）=3+$\sqrt{3}$，可得sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1，又C∈（0，π），可得C=$\frac{π}{6}$．
再根據(jù)△ABC的面積為 $\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴ab=2$\sqrt{3}$．
再根據(jù)c=1，利用余弦定理可得 1=a²+b²-2ab•cosC，∴a²+b²=7，
∴a=2、b=$\sqrt{3}$，或 a=$\sqrt{3}$、b=2，
故△ABC為直角三角形，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則由△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$ac=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r=$\frac{1+2+\sqrt{3}}{2}$r，
求得r=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦定理，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．