Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=-2n²+4n，數(shù)列{b_n}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，b₁b₂b₃=27，a₁+b₁=a₃+b₃；
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=a_2n+b_2n，求數(shù)列{c_n}的前n項的和T_n．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）在S_n=-2n²+4n中取n=n-1得Sn-1=-2(n-1)2+4(n-1)（n≥2），兩式相減得數(shù)列{a_n}的通項公式；求出a₃=-6，結(jié)合b₁b₂b₃=27求得b₂=3，再結(jié)合
a₁+b₁=a₃+b₃求得數(shù)列{b_n}的公比，則通項公式可求；
（2）把數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式代入c_n=a_2n+b_2n，分組后利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和得答案．

解答： 解：（1）由S_n=-2n²+4n，得Sn-1=-2(n-1)2+4(n-1)（n≥2），
兩式相減得a_n=-4n+6，
當(dāng)n=1時，a₁=2適合上式，
則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=-4n+6；
又a₃=-6，b₁b₂b₃=27，則b₂=3．
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，則由a₁+b₁=a₃+b₃，得b2q-

b2

q

=8，即3q²-8q-3=0，
解得：q=3或q=-

1

3

（舍），即bn=3n-1．
則數(shù)列{b_n}的通項公式為bn=3n-1；
（2）∵c_n=a_2n+b_2n=-8n+6+3^2n-1，
則T_n=c₁+c₂+…+c_n
=-8(1+2+…+n)+6n+

3(1-9n)

1-9

=-4n2+2n+

3

8

(9n-1)．

點評：本題是等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合題，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和，是中檔題．