Question

求下列函數(shù)的極值．

(1)f(x)＝x³－12x；

(2)f(x)＝x²e^－x；

(3)f(x)＝－2．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)函數(shù)定義域為R．(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)． 　　令(x)＝0，得x＝±2． 　　當x＞2或x＜－2時，(x)＞0， 　　∴函數(shù)在(－∞，2)和(2，＋∞)上是增函數(shù)； 　　當－2＜x＜2時，(x)＜0， 　　∴函數(shù)在(－2，2)上是減函數(shù)． 　　∴當x＝－2時，函數(shù)有極大值f(－2)＝16， 　　當x＝2時，函數(shù)有極小值f(2)＝－16． 　　(2)函數(shù)定義域為R．(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x， 　　令(x)＝0，得x＝0或x＝2． 　　當x＜0或x＞2時，(x)＜0， 　　∴函數(shù)f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上是減函數(shù)； 　　當0＜x＜2時，(x)＞0， 　　∴函數(shù)f(x)在(0，2)上是增函數(shù)． 　　∴當x＝0時，函數(shù)取得極小值f(0)＝0， 　　當x＝2時，函數(shù)取得極大值f(2)＝4e－2． 　　(3)函數(shù)的定義域為R．(x)＝， 　　令(x)＝0，得x＝±1． 　　當x＜－1或x＞1時，(x)＜0， 　　∴函數(shù)f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是減函數(shù)； 　　當－1＜x＜1時，(x)＞0， 　　∴函數(shù)f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)． 　　當x＝－1時，函數(shù)取得極小值f(－1)＝－3， 　　當x＝1時，函數(shù)取得極小值f(1)＝－1． 　　思路分析：按照求極值的基本方法，首先從方程(x)＝0求出在函數(shù)f(x)定義域內所有可能的極值點，然后按照函數(shù)極值的定義判斷在這些點處是否取得極值．

提示：

解答本題時，應注意(x0)＝0，只是f(x)在x0處有極值的必要條件，如果再加上x0附近導數(shù)的符號相反，才能斷定函數(shù)在x0處取得極值，反映在解題上，錯誤判斷極值點或漏掉極值點是學生經(jīng)常出現(xiàn)的失誤．