Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=（-x²+ax）e^-x（x∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（I）當a=-2時，求函數(shù)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（III）函數(shù)f（x）是否為R上的單調(diào)函數(shù)，若是，求出a的取值范圍：若不是，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）當a=-2時，f（x）=（-x²-2x）e^-x；f′（x）=（x²-2）e^-x
令f′（x）＜0，得x²-2＜0，∴-

2

＜x＜

2

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-

2

，

2

）；
（Ⅱ）f′（x）=[x²-（a+2）x+a]e^-x，若f（x）在（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞減，即當-1＜x＜1時，f′（x）≤0，
即x²-（a+2）x+a≤0對x∈（-1，1）恒成立；
令g（x）=x²-（a+2）x+a，則

g(-1)≤0 g(1)≤0

∴

1+(a+2)+a≤0 1-(a+2)+a≤0

，解得a≤-

3

2

；
（III）f′（x）=[x²-（a+2）x+a]e^-x，其正負取決于二次式x²-（a+2）x+a，該二次式值（首項為正）不可能永為負，也就是說原函數(shù)不可能是整個實數(shù)域上的單調(diào)遞減函數(shù)；
若要成為單調(diào)遞增函數(shù)，則x²-（a+2）x+a≥0對x∈R恒成立
∵△=（a+2）²-4a=a²+4＞0
∴函數(shù)不可能在R上單調(diào)遞增
綜上可知，函數(shù)f（x）不可能為R上的單調(diào)函數(shù)．