已知如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸的交點(diǎn)是A（3，0）、B（6，0），與y軸的交點(diǎn)是C．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)P（x，y）（0＜x＜6）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線BC于點(diǎn)Q．
①當(dāng)x取何值時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度取得最大值，其最大值是多少？
②是否存在這樣的點(diǎn)P，使∠OQA為直角？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（1）∵拋物線過A（3，0），B（6，0），
∴
9a+3b+2=0
36a+6b+2=0
，
解得：
a=
1
9
b=-1
，
∴所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y=
1
9
x2-x+2；
（2）①∵當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b，
則有
6k+b=0
b=2
，
解得：
k=-
1
3
b=2
，
∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式是y=-
1
3
x+2，
∵0＜x＜6，
∴PQ=yQ-yP=(-
1
3
x+2)-(
1
9
x2-x+2)=-
1
9
x2+
2
3
x
=-
1
9
(x-3)2+1．
∴當(dāng)x=3時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度取得最大值，最大值是1；
②存在這樣的點(diǎn)P(
3
2
，
3
4
)或P(
12
5
，
6
25
)，使∠OQA為直角．
事實(shí)上，
當(dāng)∠OQA=90°時(shí)，設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)D，
∵∠ODQ+∠ADQ=90°，∠QAD+∠AQD=90°，∴∠OQD=∠QAD，
又∵∠ODQ=∠QDA=90°，∴△ODQ∽△QDA，
∴
DQ
OD
=
DA
DQ
，即DQ2=OD•DA．
∴(-
1
3
x+2)2=x(3-x)，整理得：10x2-39x+36=0．
∴x1=
3
2
，x2=
12
5
．
∴y1=
1
9
×(
3
2
)2-
3
2
+2=
3
4
，y2=
1
9
×(
12
5
)2-
3
2
+2=
6
25
．
∴P(
3
2
，
3
4
)或P(
12
5
，
6
25
)．
∴所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)是P(
3
2
，
3
4
)或P(
12
5
，
6
25
)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，半圓的直徑的長(zhǎng)為4，點(diǎn)平分弧，過作的垂線交于，交于．
（1）求證：：
（2）若是的角平分線，求的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若直線y=kx+2與曲線y=
x2-1
，|x|＞1
1-x2
，|x|≤1
恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k∈______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C1：x2-
y2
4
=1．
（1）求與雙曲線C1有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)P（4，
3
）的雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l：y=x+m分別交雙曲線C1的兩條漸近線于A、B兩點(diǎn)．當(dāng)
OA
•
OB
=3時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知直線l與橢圓
x2
36
+
y2
9
=1交于A和B兩點(diǎn)，點(diǎn)（4，2）是線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖橢圓C的方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)，A是橢圓C的短軸左頂點(diǎn)，過A點(diǎn)作斜率為-1的直線交橢圓于B點(diǎn)，點(diǎn)P（1，0），且BP∥y軸，△APB的面積為
9
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在直線AB上求一點(diǎn)M，使得以橢圓C的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過M的雙曲線E的實(shí)軸最長(zhǎng)，并求此雙曲線E的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知圓E：（x+
3
）2+y2=16，點(diǎn)F（
3
，0），P是圓E上任意一點(diǎn)．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）已知A，B，C是軌跡Γ的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且|CA|=|CB|，問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（3
2
，
2
），橢圓的離心率e=
2
2
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)M作兩直線與橢圓C分別交于相異兩點(diǎn)A、B．若∠AMB的平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請(qǐng)給予證明；若不是，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若點(diǎn)P（2，-1）平分橢圓
x2
12
+
y2
8
=1的一條弦，則該弦所在的直線方程為______．（結(jié)果寫成一般式）

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同步練習(xí)冊(cè)答案