Question

已知橢圓E₁：

x2

a2

+

y2

6

=1的焦點F₁、F₂在x軸上，且橢圓E₁經(jīng)過P（m，-2）（m＞0），過點P的直線l與E₁交于點Q，與拋物線E₂：y²=4x交于A、B兩點，當直線l過F₂時△PF₁Q的周長為20

3

．
（Ⅰ）求m的值和E₁的方程；
（Ⅱ）以線段AB為直徑的圓是否經(jīng)過E₂上一定點，若經(jīng)過一定點求出定點坐標，否則說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）△PF₁Q的周長4a=20

3

，進而可得E₁的方程，將y=-2代入可得m的值；
（Ⅱ）過P（5，-1）點的直線為：x-5=m（y+2），即x=m（y+2）+5，代入y²=4x得y²-4my-8m-20=0，利用以線段AB為直徑的圓的方程為x²+y²-（x₁+x₂）x+x₁x₂-（y₁+y₂）y+y₁y₂=0，結合韋達定理，可得關于m的方程4m²（1-x）+4m（3-x-y）+x²+y²-10x+5=0，利用關于m的方程有無數(shù)解，即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）△PF₁Q的周長4a=20

3

，
∴a=5

3

，a²=75，
故橢圓E₁的方程為：

x2

75

+

y2

6

=1，
將P（m，-2）代入

x2

75

+

y2

6

=1得：
m²=25，
∵m＞0，
∴m=5，
（Ⅱ）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
過P（5，-1）點的直線為：x-5=m（y+2），即x=m（y+2）+5，
代入y²=4x得：y²-4my-8m-20=0
而以線段AB為直徑的圓的方程為x²+y²-（x₁+x₂）x+x₁x₂-（y₁+y₂）y+y₁y₂=0，
x²+y²-

1

4

[（y₁+y₂）²-2y₁y₂]x+

(y1y2)2

16

-（y₁+y₂）y+y₁y₂=0，
整理得x²+y²-4my-（4m²+4m+10）x+4m²+12m+5=0，
整理成關于m的方程4m²（1-x）+4m（3-x-y）+x²+y²-10x+5=0
由于以上關于m的方程有無數(shù)解，故1-x=0且3-x-y=0且x²+y²-10x+5=0，
由以上方程構成的方程組有唯一解x=1，y=2．
由此可知，以線段AB為直徑的圓必經(jīng)過定點（1，2）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查恒過定點問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．