Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

a

xⁿ-（-1）^klnx（a≥1，k∈N^*）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性
（2）當(dāng)a=2時(shí)，k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)b_n=f′（n）-n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，試比較S₁₀₀-1，S₉₉，2ln10的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）把a(bǔ)=1代入f（x）=

1

a

x^a-（-1）^klnx，求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)數(shù)，分k為奇數(shù)和k為偶數(shù)討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，b_n=f′（n）-n=

1

n

，Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．由（1）得：當(dāng)a=1，k為偶數(shù)，x＞1時(shí)，f（x）＞f（1），即x-lnx＞1，∴x-1＞lnx，轉(zhuǎn)化為當(dāng)x＞0時(shí)，有l(wèi)n（1+x）＜x，取x=

1

n

得ln（1+

1

n

）＜

1

n

，由

n

k=1

ln(1+

1

k

)＜

n

k=1

1

k

證得S₉₉＞2ln10；令g（x）=lnx+

1

x

-1（x＞1），得到g（x）=lnx+

1

x

-1在（1，+∞）上單調(diào)遞增．則g（x）＞g（1）=0，則ln（1+

1

n

）＞

1

n+1

，由此證得S₁₀₀-1＜2ln10．

解答： 解：（1）f（x）=

1

a

x^a-（-1）^klnx的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=1-(-1)k•

1

x

．
①當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，f′(x)=1+

1

x

＞0，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
②當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，f′(x)=1-

1

x

，
若x＞1，則f′(x)=1-

1

x

＞0，f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)．
若0＜x＜1，則f′(x)=1-

1

x

＜0，f（x）在（0，1）上為減函數(shù)．

（2）當(dāng)a=2時(shí)，b_n=f′（n）-n=

1

n

，Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
由（1）得：當(dāng)a=1，k為偶數(shù)，x＞1時(shí)，f（x）＞f（1），即x-lnx＞1，∴x-1＞lnx，
當(dāng)x＞0時(shí)，有l(wèi)n（1+x）＜x，∴l(xiāng)n（1+

1

n

）＜

1

n

，n∈N^*，

n

k=1

ln(1+

1

k

)＜

n

k=1

1

k

，
∴S99=

99

k=1

1

k

＞

99

k=1

ln(

k+1

k

)=ln100=2ln10．
令g（x）=lnx+

1

x

-1（x＞1），
∵x＞1，∴g′(x)=

1

x

-

1

x2

＞0，則g（x）=lnx+

1

x

-1在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
g（x）＞g（1）=0．
∴l(xiāng)nx＞1-

1

x

，則ln（1+

1

n

）＞

1

n+1

，n∈N^*．
∴

99

k=1

1

k+1

＜

99

k=1

(1+

1

k

)=2ln10．
∴S₁₀₀-1＜2ln10．
綜上，S₁₀₀-1＜2ln10＜S₉₉．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了數(shù)列不等式的證明方法，屬難題．