Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E，F(xiàn)分別為棱DD₁和AB上的點，則下列說法正確的是

 

．（填上所有正確命題的序號）
①A₁C⊥平面B₁CF；
②在平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)總存在與平面B₁EF平行的直線；
③△B₁EF在側(cè)面BCC₁B₁上的正投影是面積為定值的三角形；
④當(dāng)E，F(xiàn)為中點時，EF與平面BCC₁B₁所成角的正切值為

5

5

；
⑤當(dāng)E，F(xiàn)為中點時，平面B₁EF與棱AD交于點P，則AP=

2

3

．

Answer 1

考點：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：應(yīng)用題

分析：由正方體的結(jié)構(gòu)特征，對所給的幾個命題用線面，面面之間的位置關(guān)系直接判斷正誤即可得到答案．

解答： 解：對于①A₁C⊥平面B₁EF，不一定成立，因為A₁C⊥平面AC₁D，而兩個平面面B₁EF與面AC₁D不一定平行．
對于②在平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)總存在與平面B₁EF平行的直線，此兩平面相交，一個面內(nèi)平行于兩個平面的交線一定平行于另一個平面，此結(jié)論正確；
對于③△B₁EF在側(cè)面BCC₁B₁上 的正投影是面積為定值的三角形，此是一個正確的結(jié)論，因為其投影三角形的一邊是棱BB₁，而E點在面上的投影到此棱BB₁的距離是定值，故正確；
對于④EF與平面BCC₁B₁所成角等于EF與平面A₁D₁DA所成角，連接EA，則∠FEA為EF與平面A₁D₁DA所成角，tan∠FEA=

AF

AE

=

5

5

；故正確．
對于⑤，當(dāng)E，F(xiàn)為中點時平面B₁EF截該正方體所得的截面圖形是五邊形B₁QEPF，
由面面平行的性質(zhì)定理可得EQ∥B₁F，故D₁Q=

1

4

，B₁Q∥PF，故AP=

2

3

，故正確．
綜上所述，說法正確的是②③④⑤
故答案為：②③④⑤

點評：本題考點是棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查對正方體的幾何特征的了解，以及線面垂直，線面平行等位置關(guān)系的判定，涉及到的知識點較多，綜合性強．