Question

已知f（x）=-sin²x+sinx+a，若1≤f（x）≤

17

4

對一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)sinx=t，把問題轉(zhuǎn)換為關(guān)于t的一元二次函數(shù)，根據(jù)t的范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值和最小值，進(jìn)而與已知的最大值和最小值比較即可求得a的范圍．

解答： 解：設(shè)sinx=t，-1≤t≤1
則f（x）=f（t）=-t²+t+a=-（t-

1

2

）²+a+

1

4

，
當(dāng)t=

1

2

函數(shù)取得最大值，t=-1時(shí)，函數(shù)有最小值，
∴f（

1

2

）=a+

1

4

≤

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4

，①
f（-1）=a-2≥1，②
①②聯(lián)立求得3≤a≤4．
故答案為：3≤a≤4．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．考查了學(xué)生的函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化與化歸的思想的運(yùn)用．